— 236 — 



habrá que multiplicar todos los términos de P„ por 



p" = ix' -r y' -I- z^-)^ 



que, como n es par, será una potencia entera x^^ -\- y- -\- z-. 

 Además, esta potencia será siempre superior, á lo menos 



igual á q, que, cuando más, es — ; luego desaparecerá el 



denominador y quedarán en el numerador potencias enteras 

 de xx' -f- yy' + zz' y de x- + y- -f z^ Es decir, que los 

 términos del desarrollo, cuando n es par, son polinomios 

 enteros en x, y, z. 



Además, son homogéneos y del grado n. 



Porque, en efecto, en el término que estamos conside- 

 rando, hemos visto que hay estos dos factores, que son los 

 únicos que contienen x, y, z, á saber: 



n 



{xx'^yy' + zz'Y^x (^' + ^' + ^)^ 



(x-^ + ;;^ + z^^ 

 ó bien 



{xx + y y' -h zzy x {x- -[- y^ + z^) -y ~ ^. 



El grado en x, j, z del primer factor es 2 ^, y el grado del 

 segundo factor, observando que en el paréntesis la x, la y y 

 la z, están elevados al cuadrado, será 



2(-^-q\ = n-2q 



luego el grado del término será á su vez 



2q -^ n — 2q = n. 



Por lo demás, es claro que como n es par, los dos expo- 

 nentes de los dos factores son enteros, los desarrollos son 

 homogéneos y el producto lo es también. 



