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La demostración para el caso en que n es impar es ente- 

 ramente análoga, porque si bien es cierto que eligiendo un 

 término cualquiera del polinomio Pn, la potencia de eos y 

 será impar; de modo que tendremos 



-,„„^,^ /..-+y/+z^Y^+-_ 



1 {XX + yy ^ zz) -^g+i 



p'29-i-l (^^2 J^ y. J^ ^oy \J ^2 J^, yl J^ Z-' 



y quedará un radical en el denominador; también es cierto 

 que el polinomio P^ esta multiplicado por 



O sea 



lJ^\Jx-^ + r + z^^ 



Y como n es impar, siempre quedará un radical que hará 

 desaparecer el del denominador. 



En suma, tendremos, no considerando más que los facto- 

 res, con x,y, z, 



{XX +yy' + zz) '^^^^ /. / ." 



(x2 + y^ + z^^ \x^ + >»' + ^' 



y haciendo, puesto que n es impar, n = 2m -\- 1, 



{xx' + yy ' + zz'Y^-^^ ^^^/ ^, ^., ^ ^, ^2^^i 

 (x2 -\- y' + z-^)9 \/x2 + y^ -f z2 



ó bien 



2 ' ■y2 I 2rn 



{xx -r y/ + ZZ')"Í^^ I / / \ 



^^ /- = V X^ + y^ + 2"^ (V ^' + y' -r -^^7 



= (xx' + y/ + ZZy'i^^ (X^ + y^ 4- Z2)'n-g 



