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Laplace; lo cual se demuestra de una manera inmediata, por- 

 que sabemos que ■ — - satisface á la ecuación A — = o; lue- 



r r 



go también satisfará á esta ecuación el desarrollo 



y como podemos disponer de o', 6 mejor dicho, de la rela- 

 ción —^— para hacer tan pequeños como se quieran todos los 



p' 

 términos de la serie á partir de 1, es claro que cada término 



de la serie, en particular, debe satisfacer á la ecuación de 

 Laplace, y lo mismo podríamos decir de la serie en X. 



Nos basta con esta indicación general y nos falta tiempo 

 para entrar en mayores desarrollos. 



Sólo diremos, para terminar la conferencia y terminar el 

 curso, que puede demostrarse fácilmente, diferenciando el 

 radical 



\/l - 2 pi eos y + pi^ 



con relación á p^, multiplicando ambos miembros por 



1 — 2 pi eos Y + pi^ 



é identificando los dos desarrollos, según las potencias de p^ 

 que cada tres funciones X satisfacen á una ecuación lineal. 



Esta es la primera indicación. 



Es la segunda que si en los polinomios en x, y, z se sus- 

 tituyen por estas variables sus valores en coordenadas po- 

 lares 



x = r sen O eos o, y ^= r sen íí sen cp, z = r eos '^ 



en todos los términos de cada polinomio podrá sacarse r" 

 factor común y resultarán polinomios homogéneos en 



sen O eos (p, sen O sen o y eos ^. 



