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X. — Estudio geométnco de la curvatura 

 de las superficies alabeadas en gCDcral. 



Por Antonio Torroja Miret. 



(Continuación.) 



La curvatura de 



una sección normal <t de la 

 superficie 5 vendrá dada 

 por la de la sección a' que 

 su plano s produce en la 

 cuádrica osculatriz S', la 

 cual á su vez está determi- 

 nada por los puntos A y B 

 con sus tangentes corres- 



O 



pondientes y los C y D de 

 intersección de su plano s 

 con la indicatriz /. Siendo 

 hipérbola la indicatriz, estos 

 dos puntos serán reales ó 

 imaginarios, según que el 

 plano secante s esté conte- 

 nido en uno ú otro de los 

 dos ángulos formados por 

 los dos planos asintó- 

 ticos de la cuádrica olAB y 

 o.'AB y, por consiguiente, 

 la sección o-' será en el pri- 

 mer caso elipse y en el se- 

 gundo hipérbola; lo cual 

 quiere decir que la curva- 

 tura de las secciones nor- 

 males en este punto está 

 en uno ú otro sentido, se- 



una superficie cilindrica o- de 

 generatrices paralelas á la di- 

 rección s y circunscrita á la 

 superficie S, vendrá dada 

 por la del cilindro o-' de ge- 

 neratrices paralelas á esta di- 

 rección y circunscrito á la 

 cuádrica osculatriz S' , el cual 

 á su vez está determinado 

 por los dos planos tangentes 

 ay b con las generatrices de 

 contacto correspondientes y 

 los c y í/ tangentes al cilin- 

 tro / proyectante de la indi- 

 catriz y que pasan por el 

 punto s. Siendo hipérbola la 

 indicatriz, estos dos planos 

 serán reales ó imaginarios, 

 según que este punto s esté 

 en una ú otra de las dos 

 porciones en que dividen la 

 recta del infinito del plano a 

 los puntos del infinito de la 

 indicatriz, y, por consiguien- 

 te, el cilindro o-' será en el 

 primer caso elíptico, y en el 

 segundo hiperbólico; lo cual 



