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X = X 



y = y' eos a — z' sen « 



z = y' sen a-\- z' eos y 



cuyo determinante es 



1 O O 



O eos a — sen a 

 o sen a — eos ^r 



y como el determinante de la rotación completa es el pro- 

 ducto de estos determinantes parciales, se tendrán necesa- 

 riamente 



A = + l 



Cuando existe inversión, podemos llevar los ejes primiti- 

 vos, por una simple rotación, á confundirse con las prolon- 

 gaciones de los nuevos, y á continuación invertir éstos. En- 

 tonces 



A = A' . A" = A", 



puesto que el determinante A' de la rotación es + 1- Pero 

 en la inversión directa de los ejes los cosenos directores son 



«1 = — 1 ,?'.>= — 1 > T;; = — 1 

 a, = «3 = l\ = % = y^ = y2 = O 



de suerte que 



A" = 



1 O O 

 0-1 O 

 O 0-1 



= — 1 



con lo cual queda demostrado el teorema. 



Según lo que acabamos de decir, y lo demostrado en los 

 párrafos anteriores, si aplicamos una inversión á los ejes de 



