XV. — Estudio geométrico de la curvatura 

 de las superficies alabeadas en general. 



Por Antonio Torroja y Miret. 



(Continuación.) 



III. Curvatura en puntos y planos tangentes particulares. 



Supongamos ahora que 



por el punto A pasan, ade- 

 más de la generatriz rectilí- 

 nea a, otras dos rectas ^ y y 

 que son aristas de haces de 

 planos que producen en la 

 superficie 5 secciones de cur- 

 vatura nula en ese punto, es 

 decir, supongamos que la su- 

 perficie tiene en ese punto 

 un contacto de segundo or- 

 den con el plano tangente w^. 

 Desde luego podemos afir- 

 mar que la generatriz rectilí- 

 nea a, que por él pasa, es 

 singular, puesto que en los 

 puntos de las generatrices 

 ordinarias hemos visto que 

 sólo hay dos rectas que pre- 

 senten esta circunstancia. Por 

 otra parte, los puntos de las 

 aristas de la superficie son 

 todos parabólicos, á excep- 

 ción del vértice U^ que es de 



en el plano a' hay, además 

 de la generatriz rectilínea a', 

 otras dos rectas ¡i' y y' cuyos 

 puntos son vértice de super- 

 ficies cónicas circunscritas á 

 5 y de curvatura infinita en 

 ese plano, es decir, suponga- 

 mos que la superficie tiene 

 en ese plano un contacto de 

 segundo orden con el punto 

 de contacto W^' . Desde lue- 

 go podemos afirmar que la 

 generatriz rectilínea a', que 

 en él está situada, es singu- 

 lar, puesto que en los planos 

 que pasan por las generatri- 

 ces ordinarias hemos visto 

 que sólo hay dos rectas que 

 presenten esta circunstancia. 

 Por otra parte, los planos 

 que pasan por las aristas de 

 la superficie son todos para- 

 bólicos, á excepción del w 



