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Ó bien 



a (eos a -f V —1 sen a) x ¿7 (eos ,3 y — 1 sen ,3) = 



= ab [eos (a -}- ^3) + \J —\ sen (a + ,3)]. 



12. Si se hace la multiplicación por las reglas conocidas 

 en el Algebra y se divide por ab, queda 



eos 2 eos ,3 — sen o. sen ¡3 -|- y — 1 (sen a eos |3 + 



+ eos a sen ^^) = eos (a -f ,3) ^ \/— 1 sen (a + ,3) 



Para que se verifique esta ecuación es necesario que la parte 

 real del primer miembro sea igual á la del segundo, y lo 



mismo las partes afectadas del factor V —1; de modo que la 

 última ecuación se descompone en 



eos (a -j- ,3) = eos y. eos ,3 — sen a sen ,3, 

 sen (a -)- |3) = sen o eos ,3 -{- eos y. sen ,3. 



Si uno de los ángulos es negativo, [j, por ejemplo, es de- 

 cir, si el factor estuviese por debajo de Ou, el producto es- 

 taría á la derecha del otro factor, formando con el eje real 

 un ángulo a — ,3, y sería 



üuxb-^i = abu-^i, 

 ó bien 



a (eos a -f- y— 1 sen ■j.)x.b (eos ,3 — y — 1 sen ¡3) = 



= ab [eos {y — |3) -f-\/— 1 sen (a — ,3)]; 



suprimiendo el factor ab y haciendo la multiplicación del 

 primer miembro, 



eos a eos j3 4- sen a sen ¡3 -|- \J — 1 (sen a eos ,3 — 



— eos a sen |3) = eos (a — ,3) -f y — 1 sen (a — ,3)» 



de donde resultan las fórmulas 



eos ( a — ¡3 ) ^ eos a eos ¡3 + sen a sen p 

 sen (a — i3) = sen a eos ,3 — eos a sen |3. 



