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un contacto de segundo orden en los planos que pasan por 

 una arista a de una superficie alabeada 5, con las superfi- 

 cies cónicas 11' circunscritas á ella y cuyos vértices son los 

 puntos de la recta m, se descompone, prescindiendo del haz 

 de planos cuya arista es esta recta, en un cono de segunda 

 clase h', tangente al plano w alo largo de la arista a, cuyo 

 vértice es el punto R de dicha arista armónicamente sepa- 

 rado del TFpor los dos planos b y c, y que tiene como ge- 

 neratriz de contacto con el plano tangente que pasa por la 

 recta m, la recta de intersección de este plano con el y; y de 

 la recta t, de intersección del plano w con el que pasa por 

 la recta m y está armónicamente separado del punto/ por 

 los planos b y c, siendo los planos que pasan por esta rec- 

 ta t, los polares de la recta m respecto de los conos tangen- 

 tes á los planos b y c y a\ w según la recta que une el pun- 

 to/ con el mw, los cuales aparecen como teniendo un con- 

 tacto de segundo orden en el plano w con la superficie có- 

 nica, de vértice mw, circunscrita á la superficie S, por ser, 

 en ella, de inflexión dicho plano tangente w. 



La elección de los planos b y c queda á nuestro arbit'io 

 y, como no podemos tomarlos de modo que los conos 11 sean 

 de revolución, que sería lo más conveniente, los tomaremos 

 paralelos y equidistantes del vértice ir, con lo cual estos co- 

 nos se convierten en cilindros, cuyo plano diametral, conju- 

 gado con la dirección que define la arista a, es el plano pa- 

 ralelo á los ¿7 y c que pasa por el punto W, y cuyos ejes son 

 las rectas de intersección de este plano con los polares de 

 la recta m, cuya envolvente es el cono h', que ahora pasa 

 también á ser cilindro; la envolvente de estos ejes es, pues, 

 una cónica /?/, tangente á la recta de intersección de su 

 plano con el w en el vértice ir y á la recta m en su punto 

 común con el plano /. El radio de curvatura de una cónica 

 en uno de sus puntos A es igual, como sabemos, al tercero 

 proporcional entre la longitud del semidiámetro paralelo á la 

 tangente en el punto ^ y la distancia de este punto á dicho 



