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tangente, las mismas generatrices rectilíneas que las des- 

 arrollables circunscritas á la superficie dada y de curvatura 

 infinita en él, confundiéndose dichas desarrollables con las 

 circunscritas á la superficie considerada á lo largo de las 

 líneas asintóticas, que son sus aristas de retroceso. En las 

 superficies alabeadas, uno de los sistemas de estas desarro- 

 llables, que podrían llamarse asintóticas, si esta palabra no 

 tuviera ya otra significación, por tener como generatrices 

 rectilíneas las asíntotas de la indicatriz, y que nosotros lla- 

 maremos desarrollables de asíntotas, está formado por los 

 haces de planos cuyas aristas son las generatrices rectilíneas, 

 siendo evidente, después de lo dicho, que los planos que 

 pasan por dos generatrices ordinarias a y a de una super- 

 ficie alabeada y son tangentes á sus desarrollables de asín- 

 totas del otro sistema, forman dos haces proyectivos, en el 

 supuesto siempre de que entre las dos generatrices n. y a' no 

 haya ninguna singular. 



En el caso de que la generatriz rectilínea que se considere 

 sea una arista de la superficie, por ser parabólicos los 



planos que por ella pasan y 

 de inflexión el plano w co- 



puntos en ella situados y de 

 retroceso el vértice Trcorres- 

 pondiente, las líneas asintó- 

 ticas del otro sistema sólo 

 pueden atravesarla, sin ser 

 tangentes á ella, en el punto 

 y, en que la superficie tiene 

 un contacto de segundo or- 

 den con el plano tangente iv. 

 Pero este punto, como doble 

 de la línea de la superficie 

 situada en el plano iv, es el 

 límite del punto de contacto 

 de un plano tangente cual- 

 quiera, que se mueve acer- 

 cándose al w; y como, en 

 cada posición de este punto 



rrespondiente, las desarrolla- 

 bles de asíntotas del otro sis- 

 tema sólo pueden tener como 

 plano tangente que pase por 

 ella, sin ser tangente á lo 

 largo de la misma, el plano 

 y, en que la superficie tiene 

 un contacto de segundo or- 

 den con el vértice ^Y. Pero 

 este plano, como doblemente 

 tangente á la superficie cóni- 

 ca de vértice TF; circunscrita 

 á la propuesta, es el límite 

 del plano tangente en un pun- 

 to de la superficie, que se 



