eos 'J. = 



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Por comprobación de estas ecuaciones sumemos la (5) y 

 la (6), y se tendrá: 



sen- y. -4- sen- 3 + 2 sen y. sen ,j eos { «' — V ) 



1 — eos [x = ^ — ' ■ ^^ — (7) 



1 — eos O! eos ,j -f- sen y. sen ,j eos (a' — "¡i') 



y sumando ésta con la (4), resulta la dentidad 



„ _ 2 - 2 eos a eos ,3 + 2 sen a sen } eos (a' — ,3') 

 1 + eos y eos } -+- sen a sen ¡í eos (a' — ¡3') 



como debía suceder, porque siendo determinado el problema 

 y teniendo tres ecuaciones con dos ineógnitas, cada una de 

 aquéllas ha de ser consecuencia de las otras dos. 

 De la ecuación (4) resulta 



(eos y. + eos "y^) 



eos a = ^^ ■ -^ 1 



1 + eos a eos 3 + sen a sen ''¡i eos (/ — }') 

 eos- y. + eos- ,j + eos y eos } ~~ sen y sen } eos (c/' — }') — 1 



1 + eos y. eos ,j + sen a sen ,j eos (a' — fi') 



valor que usaremos bajo la forma que más convenga en cada 

 caso. 

 Multiplicando las ecuaciones (4) y (7) 



1 , , / ox, sen- y — sen- 3 — 2 sen a sen } eos (a — 3') 

 1 — cos' 'j. = sen- y. = (eos a - eos ,j)- ■ — ' ■ ^^ — 



\\ -\- eos o. eos 3 + sen y sen 3 eos (a' — 3')]^ 



. , , . V'^^sen- a + sen- 3 — 2 sen v. sen 3 eos (a' — 3') ,„. 

 sen a = (eos v. + eos ,:i) ^^ ■ ^^ ^—^ (8) 



1 — eos a eos ¡3 + sen a sen ,3 eos ( y' — ,3' ) 



Dividiendo las ecuaciones (5) y (6) por la (7) se tiene 



(sen a eos a' + sen ,3 eos ,3')'- 



COS- 'J. 



sen- 'j.' 



sen- a + sen- .3 + 2 sen a sen ,3 eos (a' — 3') 



(sen a sen a' + sen 3 sen 3')- 

 sen- a + eos- ,3 + 2 sen o: sen 3 eos (a'— 3') 



