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(sen a eos a' -r sen 3 eos ¡3') 

 eos 'j- = - (y) 



y sen- a - sen- í» + 2 sen a sen ,'j eos (a' — ,3') 



(sen a sen a' -p sen 3 sen ¡i') ,,„. 



sen 'j. = (lU) 



V sen- a -t sen- 3 + 2 sen y sen ,3 eos (a'— )') 



El doble signo no es admisible, porque el producto no 

 puede tener dos valores; para saber cuál de los signos es el 

 verdadero observemos lo que será en un caso particular: 



Si y-' = p' los dos factores están en un mismo semimeri- 

 diano, el cuadrilátero esférico se reduce á un arco {y. — ;3), 

 y la longitud del producto será la misma que la de los fac- 

 tores, es decir, m-' = a' = ,3'. 



Si hacemos '¿j' == y' en estas fórmulas se tiene, con el 

 signo + , 



(sen '/ -r sen 3) eos or' , , (sen a + sen .3) sen a' 



eos 'JL = ^^ — = eos a , sen 'j. = ^ —^ = sen y. , 



sen Oí -j- sen ,3 ' sen a — sen (3 



mientras si tomásemos el signo — sería 



eos [/ ^ — eos '/', sen •/.' = — sen '/.', 



lo cual estaría en contradicción con el resultado del parale- 

 logramo esférico. 



Multiplicando las ecuaciones (9) y (10) por la (8) se 

 tiene: 



sen -j. eos 



(eos V. — eos ,3) (sen y eos --/.' -¡- sen ,3 eos 3') , . 

 1 -\- eos y. eos ,3 -\- sen a sen 3 eos (a' — jj') 



(eos o. + eos 3) (sen :' sen y' + sen 3 sen 3') ,, ^. 



sen u. sen p. = ■'^ ^ ; — - (12) 



1 — eos a eos 3 -f sen y sen ,3 eos {jí — ,3') 



y, finalmente, el producto 

 ^ vía' = eos V. -L sen ". (y — 1 eos a' -f- V — 1 ~' sen 'i.') 



