— 790 — 



y se hará esta suma por el procedimiento de la fig. 21 . El 

 segundo miembro de la última igualdad indica que el punto 

 final de cada sustraendo, se toma como inicial para hacerlo 

 coincidir con el final del término anterior, que si era otro 

 sustraendo habrá sufrido el mismo cambio. 



Si resulta cerrado el polígono después de reducidos á su- 

 mandos todos los términos sustractivos; es decir, si el punto 

 final del último sumando coincide con el inicial del primero, 

 la suma es cero. Si los vectores son movimientos, el punto 

 móvil vuelve al origen; si son fuerzas aplicadas á un punto, 

 este punto está en equilibrio, como se ha dicho respecto á 

 fuerzas situadas en un plano. 



41. Las fórmulas (2) y (3) comprueban la interpretación 

 dada á las colatitudes, aplicándolas al caso en que a es ne- 

 gativo. Cambiando a en — a se convierten en 



a_«i„. = a Leos a — sen ^ vV — 1 eos -j.' -f- y — 1 ~' sen a'JJ = 



= a Leos a -p sen a ( — y— l eos a' — y — 1 "' sen a']] = 



= a ;cos a -f sen a L \/— 1 eos (a' + -) 4- \/— 1 ^ ~* sen (a' + -) 1= a„ 



de donde resulta que el vector a -«¡a- está en el semimeri- 

 diano opuesto al de longitud a'. 



Sin ser negativa la colatitud, puede estar el vector en el 

 semimeridiano opuesto al de su longitud. Así sucede al 

 vector 



í^.+.io-.siS<¿ y S'<o 



Para que la expresión !„!«' represente todos los radios es 

 suficiente que, variando x entre cero y -, varíe a' entre — - 

 y + -, ó bien, a entre — - y ^r.y -/ entre cero y rr, en una 

 palabra, siendo - la máxima variación de un índice, que 

 sea 2~ la del otro. 



Si todos los sumandos son paralelos á un plano y se hace 



