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Basta para convencerse de ello observar que H es una 

 función át p, q y t perfectamente conocida, de la cual se 

 pueden deducir todas las derivadas parciales respecto á p y ^ 

 que entran en esta ecuación (G), y los resultados serán fun- 

 ciones también determinadas de las p, q y t. 



Como suponemos, qre se nos da la función F, de p, q, t, 

 con el objeto de averiguar si es ó no una integral primera; 

 y precisamente para eso estamos buscando la condición ne- 

 cesaria, es claro, que también podemos considerar á todos 

 los coeficientes diferenciales de F, con relación á las p y las 

 q, como funciones de estas cantidades y del tiempo t: luego 

 la ecuación (G) es, como decimos, una función de forma de- 

 terminada en p, q, t, que podremos representar así 



G{p^,p.y.. ..Pk,qi,q> qk,t) = 0. 



Hemos dicho que s\ F = c es una integral primera, esta 

 última ecuación debe verificarse; pero hemos agregado, ade- 

 más, que debe ser una identidad, y esto es lo que resulta 

 evidentemente del siguiente razonamiento. 



Esta ecuación debe verificarse durante todo el tiempo del 

 movimiento, sean cuales fueren las condiciones iniciales, 

 porque los sistemas {D) {F), de donde proceden, cumplen 

 con esta condición. 



Pues consideremos un instante cualquiera /„; á este ins- 

 tante corresponderán valores de /? y q, que representare- 

 mos por 



{Pí)o> (^2)0 {Pk)o, ÍQi)o, ÍQdo (^a)o en el tiempo /q- 



Mas no hay inconveniente en considerar este instante 

 como el inicial del movimiento; luego estas p y estas q se- 

 rán los valores iniciales, y éstos pueden ser arbitrarios, por- 

 que para cada sistema de estos valores, sea el que fuere, y 

 durante el movimiento del sistema á que corresponden , la F 



