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ha de quedar invariable; luego la ecuación (G) ha de verifi- 

 carse para valores arbitrarios de las p y \as q, que es pre- 

 cisamente la condición para que sea una identidad. 



Esto mismo se puede demostrar en el sistema de integra- 

 les ( Y), porque basta poner en vez de las p y las, q estos 

 valores arbitrarios y determinar los valores de las constan- 

 tes C que satisfacen á estas condiciones iniciales, y sea cual 

 fuere el sistema de valores de las C, durante todo el movi- 

 miento de este sistema subsiste la integral F si es integral 

 primera y subsiste la condición (G). 



En suma, la condición necesaria y suficiente para que la 

 relación F = c sea una integral primera y para que sub- 

 sista en todo el movimiento de todo el sistema, es que se 

 verifique la condición (G). 



Luego la regla para conocer si una ecuación que se nos 

 presenta F = c es ó no una integral primera no puede ser 

 más sencilla: 



Se sustituyen F y H en la ecuación (G). Cómo se reducirá 

 ésta á una relación dep, q, t, no habrá más que ver si esia 

 relación se convierte en una identidad = 0. 



Si se reduce F = c á una identidad, F =^ c es una integral 

 primera; si no se reduce, no lo es. Claro es que para llegar 

 á esta conclusión suponemos, no sólo que es condición ne- 

 cesaria, sino suficiente. 



Y, en efecto, como (G) resulta de combinar el sistema ( Y), 

 ó, mejor dicho, (D) con la ecuación F, á su vez F puede con- 

 siderarse como el resultado de combinar (Y) 6 (D) con (Gj, 

 y si éstas se verifican para todo instante del movimiento, se 

 verificará F = c; es decir, que será independiente del tiem- 

 po, que es lo que constituye su definición. 



La forma de la condición (G) es clásica en la Mecánica 

 respecto á las ecuaciones canónicas del movimiento, y se 

 escribe con este símbolo su primer término: 



