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Resumiendo todo lo relativo al caso en que a + P='- ve- 

 nios que, en general, el producto de dos factores cuyas colati- 

 tudes son suplementarias es —1 con tal que los dos factores 

 no estén en un mismo meridiano. En este caso particular, los 

 factores tienen direcciones opuestas; es decir, que coinciden 

 con un mismo diámetro de la esfera, y el producto está en 

 el semimeridiano de mayor colatitud. Si éstos son iguales, 

 el diámetro que contienen los factores está en el ecuador, y 

 el producto es+l- 



47. De todo lo demostrado en estos casos particulares, 

 se deduce que el producto de dos factores, situados en el 

 ecuador, es negativo si no son opuestos y positivo si lo son; 

 de modo que 



[+ ^/—,) (_ ^ZT) ^ (+ ^-r, ^-) (_ v'- ^-) = + 1 



Este resultado nos va á servir para averiguar qué condi- 

 ciones se necesitan para que la multiplicación sea distribu- 

 tiva, sin dejar de ser como lo hemos definido. 



Para que lo sea, se necesita que los nueve términos que 

 resultan de multiplicar los tres términos de la expresión 



\a\a' = eos a -j- sen a (y— 1 eos a' -{- y — 1 ~ ' sen -j.') 



por los de 



l^i^. = eos p f sen 'p [\J —\ eos '^' + V^— 1 ^ ~ * sen p') 



den una suma igual á la de la fórmula (13) 



Para mayor comodidad, reduzcamos á binomios los fac- 

 tores, poniendo 



V^^ eos '/ + V^— 1 ^ -^ sen -/ = A, 

 \'^\ eos 3' + \/^ ^ - ' sen [i' = B. 



