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sen- a eos '^ sen a' eos a', y otras dos, sen- ¡i eos a sen i3' 

 eos (íi', y queda sen a sen ¡3, eos a sen a' eos p' + sen a sen fi 

 eos ,3 eos a' sen ¡*:l' = sen a sen p eos p sen 7/ eos p' -4- sen a 

 sen ,'j eos a eos a' sen |3' suprimiendo el factor eomún sen a 

 sen ,'i, 



eos 'j. sen c/.' eos ,3' -]- eos ,3 sen ,j' eos ct' = eos [i sen a' eos ¡í' -f eos a sen í^' eos a' 

 eos c/. (sen ot' eos jV — sen 3' eos a') = eos i'j (sen c/.' eos ,V — sen ,j' eos «') 



sen (a' — ¡i') (eos a — eos ,0) ^ O 



y restableciendo el factor suprimido se tendrá la condición 



sen 'j. sen ,'j (eos ot — eos ,j) sen ((/.' — ,3') = O 

 que se satisface con 



sen a = O, sen ,3 = O, eos a = eos p, sen (a' — ,3') = O 



La cuarta condición se satisface con a' — ¡i' =0 ó con 

 7/ — 3' = -; de modo que aquí está comprendido el caso 

 particular que hemos aplazado, y no hay necesidad de tra- 

 tarlo separadamente, porque ya vemos que si a' — [:i' = 7:, 

 la operación es distributiva. En uno y otro caso, los dos fac- 

 tores están en un mismo meridiano. Si sen a = o ó sen ,3 =0, 

 uno de los dos factores está en el eje real, positivo si 'j. = o 

 ó '^ = o,y negativo si a ^ - ó ,3 = -, y el factor que ocupa 

 esta posición está en todos los meridianos, y, por consi- 

 guiente, están los dos factores en un mismo meridiano. Este 

 puede tomarse por meridiano principal, y sabemos que en 

 él la multiplicación es distributiva; por lo tanto, es suficien- 

 te cualquiera de las condiciones 



sen a r= o, sen ¡3 =:= O ó sen {a — p') = 0. 



Veamos si lo es la condición eos y. = eos ¡ii, que se satis- 

 face con (Ü = -y. ó con ¡3 = — a. 



