- 948 — 



Por último, diferenciando la segunda con relación á z, la 

 tercera con relación á y, é igualando, obtendremos 



:>2 



V df,{x,y,z) dw _df^(x,y,z) 



3ySz 3z ' dz^y dy 



y la tercera condición será 



^ fi {x,y,z) ^ ^f:Ax,y,z) 

 dz 3 y 



De suerte, que como decíamos antes, para que la ecua- 

 ción diferencial propuesta sea una ecuación diferencial total 

 de primer orden y de tres variables independientes, f^, foyjy, 

 no pueden ser arbitrarias, sino que deben satisfacer á tres 

 condiciones que escribimos abreviadamente suprimiendo las 

 variables x, y, z, en esta forma, que es la ordinaria 



dy 3x dz ?x ' dz dy 



condiciones que se retienen fácilmente de memoria, obser- 

 vando que los índices 1, 2, 3, y las variables x, y, z, se sus- 

 tituyen alternadas; y con sólo examinar las fórmulas se com- 

 prende lo que queremos decir. 



Resulta, en fin, que las tres ecuaciones Cson tres ecuacio- 

 nes de condición y también podemos decir de integrabilidad. 

 O explicado de otro modo, son necesarias y suficientes para 

 que la ecuación diferencial propuesta sea una diferencial 

 total. 



Que son necesarias, acabamos de demostrarlo; que son 

 suficientes vamos á verlo desde luego, porque vamos á ex- 

 plicar un procedimiento para deducir F cuando dichas con- 

 diciones de integrabilidad se verifican. 



Y mas aún, y esto pocas veces se consigue, vamos á ob- 

 tener la integral por medio de cuadraturas. 



