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Así, pues, 



4* (^) = r A (a, b, z) az; 



y sustituyendo este valor en el precedente de V, tendremos, 

 por fin, para la integral general de la ecuación en diferen- 

 cial total propuesta 



V {X, y, z) - r A {X, y, z) 2x + f /^ [a, y, z) dy + 



Ja Jb 



+ rf-Achb,z)dz. 



Fácilmente puede escribirse la fórmula para el caso de un 

 número cualquiera de variables independientes. 

 Este valor de V es, en efecto, la integral general de 



dV=f,^x + f,^y+f,^z, 



porque la hemos obtenido de modo que su derivada con re- 

 lación á X sea/i, su derivada con relación á y, /^ y su deri- 

 vada con relación á z, f^. 



Y esto mismo puede comprobarse desde luego, lo cual 

 equivaldría á una demostración sintética. Pero no hemos de 

 detenernos en estos ejercicios elementales. 



Se ve, desde luego, que V es la integral general porque 

 contiene una constante arbitraria 



Verdad es que, aparentemente, son tres a, b, c; pero es 

 fácil demostrar, desarrollando la fórmula, que sólo queda 

 una constante adicional y que las otras desaparecen. 



Por ejemplo: desaparece la constante a y la prueba es que 

 diferenciando con relación á a vamos á obtener un resultado 

 idénticamente nulo, teniendo en cuenta por descontado una 

 constante adicional C. 



En efecto: diferenciando V con relación á a y por las re- 



