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Estos haces nos dan un medio muy sencillo de resolver 

 el problema de cambio de planos; es decir, nos permiten 

 determinar la proyección de una figura cualquiera sobre un 

 plano S" desde un centro O", cuyas posiciones se nos dan 

 referidas á otros dos planos S y S', que contienen ya dos 

 proyecciones del mismo sistema en el espacio. En efecto; si 

 queremos hallar la tercera proyección m" de un punto, co- 

 nociendo las otras dos m y /;?', uniremos m' con q' y m con p; 

 luego, los puntos de intersección de estas rectas con las ey e' 

 unidos con los puntos principales respectivos p" y q", dan 

 dos rectas que se cortan en el punto pedido ni'. No hay que 

 olvidar que los puntos dados my m' han de cumplir la con- 

 dición de que las rectas mq, m'p' ye" concurran en un punto. 



Para hallar la tercera proyección r" de una recta, dadas 

 las otras dos arbitrarias r y r', empezaremos por tomar en la /* 

 un punto m; uniéndolo con q y trazando el rayo homólogo 

 de éste en el haz p', tendremos en r' el punto m conjugado 

 con m; y podremos ya determinar el m", que con los m y ni 

 forma un terno de puntos conjugados; haciendo una cons- 

 trucción idéntica para otro punto cualquiera n de la recta r, 

 tendremos el n", que con m" nos da la recta buscada r". 



Como caso particular notable estudiaremos el de los 

 puntos del plano de los tres centros, cuyas tres proyeccio- 

 nes están sobre los ejes singulares pq, p'q' y p"q"; recípro- 

 camente, si una de las proyecciones, m" por ejemplo, está 

 sobre la recta p"q", el punto estará en la recta que une O" 

 con un punto del plano O O' O"; es decir, estará en este pla- 

 no; en él estarán igualmente las otras dos proyecciones m y ni 

 y, como han de hallarse respectivamente en 5 y S', serán 

 puntos de los ejesp^ y p'q'. Como la construcción general 

 no es aquí aplicable, puede efectuarse en el plano de los 

 centros, ó determinar en los mismos planos de proyección 

 el punto m" como intersección de p"q" con la recta homo- 

 loga de otras dos que corten á los ejes pq y p'q', respectiva- 

 mente, en los puntos dados m y ni. Como más sencillas. 



