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categoría, desde éstos sobre aquéllos, hallar una tercera 

 proyección de la misma figura desde un nuevo centro O", y 

 sobre un nuevo plano S", dados por sus posiciones respecto 

 de los anteriores; todo por medio de construcciones efectua- 

 das sobre los mismos planos de proyección. 



Cofno todas las construcciones que han de hacerse son 

 de carácter proyectivo, pueden ejecutarse en otro plano 

 cualquiera sobre el que se hayan proyectado, cilindrica ó 

 cónicamente, las dos figuras proyecciones dadas. En el artí- 

 culo siguiente veremos el modo de operar sobre un solo 

 plano, sin necesidad de efectuar estas proyecciones previas. 

 El problema que acabamos de resolver, es el de cambio de 

 planos en su mayor generalidad. 



III 



Construcciones gráficas para el cambio de planos. — Aplica- 

 ción del teorema de Mac Laurin - Braikenridge. — Cons- 

 tructor mecánico. 



Hemos conseguido en el artículo anterior resolver el pro- 

 blema de cambio de planos por construcciones efectuadas 

 en los mismos planos de proyección; pero puede simplifi- 

 carse aún más operando sobre un solo plano; basta, para 

 ello, abatir los 5 y S' , con las figuras que contienen, sobre 

 el S", girando alrededor de los ejes e y e, respectivamen- 

 te (fig. 2.''). El eje e", considerado como de uno ú otro pla- 

 no vendrá á ocupar las posiciones e/' y e.,", y la serie que 

 sobre él había, sección de los haces q y p' se desdoblará en 

 dos sobre e," y e^", que han de seguir siendo congruentes 

 con sólo un giro alrededor del vértice V del triedro. Las 

 construcciones necesarias para determinar el tercer punto 

 de un terno son las mismas que ya conocemos, con la única 

 diferencia de que al relacionar las proyecciones de un punto 

 sobre los planos 5 y S', los rayos tales como (jm y p' m han 



