- 300 — 



íi, V, w pueden estar comprendidos en el segundo ejemplo: 

 aquel en el que dichos valores eran las derivadas con rela- 

 ción á X, y, z, de una función de tres variables ^, ó lo que es 

 lo mismo, que 



udx -f vdy -|- zdz, 



sea una diferencial exacta para estas expresiones de u, v, w. 

 En efecto, substituyendo por u, v, w las expresiones ante- 

 riores, tendremos, 



ó bien 



s — dx -\- s — dy -\- czdz; 

 r r 



xdx^ydy . . 

 s "^ ^ -f czdz; 



y como de x^ -f j2 — j-2 ge deduce xdx -f ydy = rdr, la 

 expresión anterior se convierte en 



sdr ^ czdz , 

 que podrá integrarse y que representaremos por cp: 



9= I sdr \ I czdz= I sdr -\ cz-. 



Y que puede integrarse es evidente, porque hemos supues- 

 to que s es una función de r, y, por lo tanto, /sí/r será in- 

 tegrable. 



Pero hemos demostrado que, en este caso, las ecuaciones 

 del grupo (1) quedan satisfechas con tal que la dilatación cú- 

 bica O sea una constante; luego sólo nos queda, para esta 

 primera parte del problema, expresar la dilatación O é igua- 

 larla á una constante arbitraria. 



