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/ ^ ¡y , ^ 



11 = I — ; v = l-^—; w = I — . 

 r r r 



Pero se observa desde luego, que este caso está compren- 

 dido en el ejemplo anterior; es decir, que u, v, w, son las 

 derivadas de una función áe x,y, z, con relación á estas va- 

 riables. 



En efecto; la función 



udx -f- vdy -\- zdz, 



para estas expresiones de w, v, w, es una diferencial exacta, 

 como se ve desde luego. 

 Pongamos en vez de u, v, w, sus valores y tendremos: 



udx + vdy + zdz = -^ xdx H — — ydy -\ — — zdz = 



r r t 



Hr) 

 = -^^^ (xdx + ydy + ^dz). 

 r 



Pero siendo la distancia de M al origen r, resulta: 



x^-\-y'^^z'^ = r^, 

 y diferenciando 



xdx -\- ydy -\- zdz = rdr; 



luego 



Uñ 



udx -{- vdy -f v^dz = -^^^ rdr = l{r) dr» 



r 



Ahora bien; el segundo miembro no contiene más que una 

 variable; luego será la diferencial exacta de una función <p 

 determinada por 



^=fl{r)dr; 



función evidentemente de r, y, por lo tanto, úq x, y, z. 



