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Substituyendo estos valores en la (4) y ;designando, para 

 abreviar, por f y ó, los denominadores comunes de x é y' 

 y de x" é y", resulta: 



-\-m{Ci — aiP')m.2{b.,n^q"—c.,) 



y--m{Cy-a,p')m¿c.m^{x-p)-\~p"-\] y = 

 — /2(c, - a, q") n, [Cyn,{x - ^) + q''^] | 



que se descompone en las ecuaciones de dos rectas, una 

 de las cuales es el eje singular y = o, y la otra tiene la 

 ecuación de la forma Ay -^ B = o, y es la recta buscada. 

 Vemos que la línea de segundo grado se ha descompuesto 

 en dos rectas: una que es el eje singular, como rayo que se 

 corresponde doblemente, como perteneciente á los haces 

 p y q, y otra que es el eje perspectivo de estos dos haces; 

 así como las dos rectas dadas, cuyas ecuaciones son las (6) 

 y (5), lo eran de cada par de haces situados en los pla- 

 nos S' y S". 

 Queda, pues, demostrado que las ecuaciones 



yy'+ m y' {x"- p") -\- n y"{x' ~ q')=^o \ 



y"y 4- m,y"{x - p ) + n,y {x"- q") = o (9) 



yy' ^ m,y (x' — p' ) + n,y' (x —q ) = o ) 



relacionan trivalente y trilinealmente los puntos de los tres 

 planos, es decir, que dados dos puntos M' y N" , cuyas 

 coordenadas {fj.\, ¡í',), {a\, ¡j"j) satisfacen á la primera ecua- 

 ción, podemos hallar las coordenadas del punto L del tercer 

 plano, homólogo con aquellos, por las ecuaciones segunda y 

 tercera. Para esto es preciso, sin embargo, conocer en cada 

 caso particular los valores que toman los coeficientes m, n, 

 /;?,, iiy, m.,, y n., de estas ecuaciones, es decir, definir la re- 

 lación proyectiva entre cada par de haces contrarios. 



Dos procedimientos idénticos en el fondo pueden seguirse 



