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Si tenemos dos curvas, M' y N", de órdenes a y [^ respecti- 

 vamente, el lugar geométrico en el plano 5 de los puntos 

 conjugados con los de estas dos curvas es otra curva, L, de 

 orden a ¡5 que tiene a puntos múltiples de orden P, y ¡5 pun- 

 tos múltiples de orden a, todos situados en el eje singular 

 p q, siendo estos puntos conjugados con los de intersección 

 de M' y N"con p' q' y p" q" respectivamente. En efecto: M' 

 corta á p' q' en a puntos: la recta homologa de uno de éstos, 

 A', en la relación que enlaza los puntos de los planos S' y S" 

 corta á N" en p puntos, cada uno de los cuales forma con 

 aquél un par de homólogos, y como uno de ellos es singu- 

 lar y el otro no, el tercer punto A es el singular conjugado 

 con A'; los puntos A' y A son múltiples de orden i^ en las 

 curvas M' y L respectivamente, porque uno de esos puntos, 

 el A, por ejemplo, es conjugado con todos los de intersección 

 de M' con p'q': luego L tiene a puntos, de grado de multipli- 

 cidad [j, comunes con el eje singular pq, que son conjugados 

 con los a puntos de intersección de M' con p'q'. Análoga- 

 mente podemos ver que la curva L tiene ,3 puntos de orden a 

 comunes con pq, que son los conjugados con los P de inter- 

 sección de A^" con p"q". La curva L no puede tener con pq 

 más de «,3 puntos comunes, como conjugados de los a sin- 

 gulares de intersección de M' con p'q' y los ¡3 de A^" con 

 p"q", porque si tuviera más, los puntos correspondientes de 

 éstos en las dos relaciones que enlazan los puntos del plano 

 S, con los de los S' y S" también habrían de ser singulares 

 y comunes, por tanto, á M' y p'q' óá N" y p"q", contra lo 

 supuesto. Esto demuestra que la curva L es de orden a¡3 

 como queríamos probar. 



El teorema que acabamos de demostrar es un caso parti- 

 cular del de Mac-Laurín Braikenridge, enunciado en el ca- 

 pítulo anterior. 



Las proposiciones anteriores demuestran cumplidamente 

 que la relación trivalente trilineal, que hemos establecido en 



