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gebra, que h, k y I se expresaran en función lineal y homo- 

 génea de/z', k', t, y podremos representar, pues, estos va- 

 lores del siguiente modo: 



h = Ah' + Bk' + Cl' 

 k = A,h' -\- B,k' ^ C/ 

 l = A,h'-^B,k +C/; 



y substituyendo, en las ecuaciones de los dos planos, éstas 

 se convertirán en las siguientes: 

 para la transformada de Pj 



a{Ah' + Bk' + Cl') + ^(A,h' + B,k' + C,l') + 

 -f -^{AJi' + B,k' -f aj') = K; 



para el plano P' 



<>.{Ah'-^Bk' -\-Cl')+'^{A,h' -\- B,k' ^ CJ) + 

 + y(>l.^/z' -I- B,k' + C,/') = K'; 



i 



y ordenando 



+ (aC + ::ic, + rQ)/' = A: 



(«^ + Mi + ^(A,)h'+{a.B + .35i + '(B.^k' + 

 + (aC+pCi + yC)/' = A'. 



Estas ecuaciones finales son de primer grado en h', k', I'; 

 luego representan dos planos como debía ser, á saber, los 

 planos Q, Q'. Pero los coeficientes de las tres variables son 

 iguales; luego son planos paralelos, con lo cual queda de- 

 mostrado el teorema: 



Si P, P' son paralelos, los planos transformados Q, Q 

 son también pai alelas entre sí. 



De aquí se deduce, como ya habíamos dicho, que todo 

 paralelepípedo se transformará en otro paralelepípedo, por-- 



