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Más claro: suponiendo el problema de la Elasticidad re- 

 suelto, conoceremos u, v, w en función de x, y, z; pues bien, 

 se tomarán las derivadas de u, v, w en función de x, y, z: 

 resultarán tres funciones de estas variables y se substituirán 

 en ellas las coordenadas del punto M. Sumándolas tendre- 

 mos la dilatación cúbica. 



Todo esto suponiendo que se han elegido los ejes parale- 

 lamente á los ejes principales que corrresponden al punto M. 



Esto parece que quita generalidad á la solución, porque 

 la dilatación cúbica que acabamos de hallar, 



f. du , dv . dw 



a = h ■ H , 



dx dy dz 



sólo se aplica para cada punto á los ejes principales del 

 mismo, y estos ejes tienen, en general, direcciones distintas. 

 Sin embargo, la solución veremos que es general, porque 

 la expresión precedente, es lo que se llama una invariante 

 cuando se cambian los ejes, conservándose siempre rectan- 

 gulares. 



* 



* * 



Para demostrarlo, cambiaremos de ejes rectangulares, y 

 veremos que la forma de a^ -j- a., -\- a,, no varía. 



Ahora bien, para hallar los coeficientes a y /;, cuando se 

 cambian los ejes coordenados, basta seguir el mismo proce- 

 dimiento que seguimos al tratar de las tensiones. 



Los coeficientes a y b acabamos de ver, que son los coe- 

 ficientes de X-, y-, z-, yz, xz, xy en la ecuación de las dila- 

 taciones 



a^x^ -^ a^y'"' -\- a.¿z'^ -{-2b¡^yz -\- 2b2zx -{- 2b2xy = ±:\. 



Por lo tanto, cambiaremos de ejes rectangulares mediante 

 las fórmulas ordinarias 



