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bre dos curvas dadas , la braquistócrona es una porción de cicloide 

 cuya base es horizontal y cuyo origen está en el punto de partida 

 del móvil, que corta á ¿lugulo recto á la curva de llegada y que el 

 origen está de tal modo colocado sobre la curva de partida, que la 

 tangente trazada por él á esta curva es perpendicular á la tangente 

 trazada á la extremidad inferior de la porción de cicloide. 

 — Si el punto móvil está solicitado por una fuerza exterior, la com- 

 ponente normal á la braquistócrona de dicha fuerza, es igual, en 

 magnitud y sentido á la fuerza centrifuga , y también , que la pre- 

 sión ejercida por el móvil sobre la curva es doble de la componente 

 normal de la fuerza exterior. Esta propiedad es característica de esta 

 curva y debiera ser empleada en todos los casos para encontrar rá- 

 pidamente su ecuación. 



— Cuando la fuerza que solicita el móvil está dirigida constantemen- 

 te á un centro fijo , y su intensidad no depende sino de la distancia r 

 del móvil á este centro , la braquistócrona en su origen es tangente 

 al radio vector ó línea que une dicho punto con el centro fijo, y si 

 f (r)^= 2n . r, ella es una epicicloide. 



Además de esta especie de braquistócrona ó braquistócronas planas, 

 se pueden considerar las curvas de esta clase situadas sobre una su- 

 perficie f(x, y, x) =0, cuyo estudio se refiere sencillamente á ope- 

 raciones analíticas de la braquistócrona plana, si bien las integra- 

 ciones podrán ser más ó menos complicadas según la naturaleza de 

 la función f. 



M. Royer, Journal de Liouville (1848, tomo XIII, pág. 41)^ trata 

 el caso de las superficies de revolución, llegando á resultados de 

 algún interés. La ecuación de una superficie de revolución alrededor 

 del eje de las 9í, siendo : 



el cálculo, nos dará asimismo para segunda ecuación de la braquis- 

 tócrona 



ydx — xdy = Cds . \J ^ 



Si se substituyen por a; é ^ las coordenadas polares p y w ligadas 

 por las relaciones : 



X' ^ p . eos w 

 y = ¡> . sencü 



> ydx — xdy = r^ . d9; 



