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siendo ;í o la altura del punto de partida y x la del punto en que se 



encuentra el móvil. La velocidad V = — '- y la formula anterior 



dt 



nos dan: 



\/2g \/x,-x. 

 en que s es el arco recorrido por el móvil, y por tanto, 



"\/'+(fr+("r 



dt 



. -V'+(^r+(^fj 



\/2g \Jx,-z 



y el tiempo entero del descenso estará dado por la integral : 





quedando el problema reducido á determinar x é y en función de ^ 

 de manera que la anterior integral sea un mínimo, cuestión que de- 

 pende del cálculo de variaciones , y que puede verse , por ejemplo , 

 en el Cours d'analyse de Ch. Sturm (t. II, pág. 318), llegándose á 

 obtener la ecuación: 



1 / a - 2.' 



y = — a . are ( eos = 



/ a -2.r\ ./ - 



eos = — V ''■'■ — ■'■' 



Propiedades. — Se deduce inmediatamente de la ecuación anterior 

 que la braquistócrona es una porción de cicloide, cuya base es hori- 

 zontal y cuyo origen está en el punto de partida del móvil; siendo a 

 igual al diámetro de su circulo generador. 



—Si se supone que los dos puntos de partida y llegada del móvil en 

 lugar de estar dados, están sujetos ala condición de encontrarse so- 



