Arista de retroceso, — 48 — 



y estas dos curvas en general se cortarán al mismo tiempo que se 

 tocan, en un mismo punto, determinado por los valores de x, y, x, 

 que satisfagan á las tres ecuaciones 



/■=0; /■',.= 0; r„-. = 0, 



de las que, eliminando el parámetro variable a, se obtendrá la ecua- 

 ción de la arista de retroceso. 



Propiedades. — Estas curvas dividen en general las superficies en 

 diferentes hojas, son tocadas por todas las características y son, con 

 relación á ellas , verdaderas envolventes. 

 — Cada característica es tangente á la arista de retroceso. 

 — En las superficies desarroUables, la arista de retroceso es el lugar 

 geométrico de las intersecciones sucesivas de sus generatrices recti- 

 líneas, y las dos hojas en que separan á la superficie, se denominan, 

 á la superior, hoja superior, y á la otra, hoja inferior; y para pasar 

 un punto móvil de una hoja á la otra, á menos que este punto no re- 

 corra una generatriz, describirá una curva que presentará un punto 

 de retroceso sobre la arista de este nombre. 



— Cuando se tiene la ecuación de una superficie desarrollable, es fá- 

 cil formar la de una cualquiera de sus generatrices rectilíneas; ellas 

 contendrán, naturalmente, un parámetro arbitrario. Ahora, deri- 

 vando una de ellas con relación á este parámetro y combinando la 

 ecuación asi obtenida con las de la generatriz , se obtendrá el punto 

 en que esta generatriz toca á la arista de retroceso ; se tendrán , por 

 tanto , las ecuaciones de esta curva eliminando el parámetro arbi- 

 trario entre las tres ecuaciones de que se acaba de hablar. 

 — El lugar de las tangentes á una curva de doble curvatura cual- 

 quiera es una superficie desarrollable , y la curva en si misma es la 

 arista de retroceso de esta superficie. 



— Si X = f (z) é y = <f (x^) son las ecuaciones de la arista de retroce- 

 so, las de su tangente en un punto («, 6, y), serán: 



?/— 'r(r) = f(T)(^^ — y)- 



y eliminando y entre estas ecuaciones, se tendrá la ecuación de la su- 

 perficie desarrollable. 



— La arista de retroceso de la superficie envolvente de los planos 

 normales á una curva dada, ha demostrado Mr. Fourier, tiene sus 



