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figuras elementales , relación obtenida por el intermedio de la pers- 

 pectiva. Ahora bien; á consecuencia de la introducción de las coor- 

 denadaslíneas, y del principio de dualidad, estas ideas caben con 

 una claridad completa en los resultados analíticos , y la diferencia 

 entre la Geometría analítica y la Geometría sintética, no debe con- 

 siderarse como substancial; las dos ramas de la ciencia operan exac- 

 tamente con las mismas nociones, y la primera da una forma de ex- 

 presión precisa á la segunda (Steiner, Systematische Eutwich lung der 

 Abhüngigkeit geometrischer Gestalten ron einander (Berlín, 1832) y aún 

 mejor por ser la exposición más lógica, la obra de Von Standt Geo- 

 metrie der Lage (Nürnherg, 1847.) 



La consideración de las coordenadas homogéneas, se encuentra 

 por primera vez en la obra citada de Mobius, si bien su importancia 

 fundamental en Geometría data de Plucker Journal de Crelle (t. V, 

 1829), que desarrolló su aplicación en el sentido de la teoría de las 

 funciones homogéneas. 



La teoría de las formas algebraicas empleada en servicio de la Geo- 

 metría Analítica, ha ido, gradualmente, elevándose al rango de 

 ciencia independíente. La primera impulsión en este sentido, fué 

 dada por Hesse, con respecto á las curvas planas de tercer orden; 

 pero el estado de esta teoría en la época actual, es debido á los tra- 

 bajos de los matemáticos ingleses, entre los cuales deberemos seña- 

 lar, principalmente, á Cayley y Sylvester, y también á Aronhold, 

 en Alemania. 



No permitiendo la índole de esta obra ser más extenso en la expo- 

 sición de estas teorías , sólo nos resta señalar al lector aquellas obras 

 en que puede encontrar sus desarrollos y que son principalmente 

 las siguientes: Cayley, lourth and fifth Memoir upon quantics (Phi- 

 losophical Transactions, t. CXLVIII, 1858). — Salmón, Lessons in- 

 troductory to the modern Algebra (Thírd. edition, Dublin 1876). — Fied- 

 1er, Elemente der neneren Geometrie (Leipzig, 1862). — Clebsch, 

 Theorie der binaren algebraischen Formen (Leipzig, 1872). — Aronhold, 

 Ueber ei?ie fundaméntale Begründung der Invariantentheorie (Journal 

 de Crelle, t. LXII), etc. 



Clasificación. — Las líneas de primer orden son las comprendidas 

 en la ecuación 



Ax-\- By-\-C = 0, 



que expresa solamente rectas; no pueden, propiamente hablando, 

 ser consideradas en el rango de curvas ; así , pues , las líneas de se- 



