— 1? — Alabeadas, etc. 



la ecuación de una esfera en la cual «, ¡3, y, sean las coordenadas 

 del centro y p el radio; si ha de pasar por el punto de la curva cu- 

 yas coordenadas sean x', y', z', se tendrá: 



(a - *r + (? - z/T + (y - >-T = p-^; 



y si ha de tocar á la curva, la ecuación diferencial de la anterior, ó 

 sea la 



(a - X') dx' + (¡i _ í/') rfy' + (y _ x') dz = O, 



deberá quedar satisfecha por los valores de d./, dy', dx' que con- 

 vengan á los puntos de la curva; y, por tanto, esta ecuación mani- 

 fiesta que el centro de la superficie esférica debe hallarse sobre el 

 plano normal á la curva dada. 



Si la esfera ha de ser osculatríz, deberá tener un contacto de se- 

 gundo orden con la curva propuesta, es decir, que la ecuación dife- 

 rencial de segundo orden, deducida de la anterior, que es: 



dx'^ + dy'-'- + dx'"- — (a — x')d^x- (.3 — y') d^y' — (y — x')d'^z' = O, 



queda satisfecha por los valores de las diferenciales de .c', y', z', de- 

 ducidas de la ecuación de la curva. 



Dedúcese de aqui que el centro de la esfera osculatríz deberá es- 

 tar situado sobre la linea recta, intersección de los dos planos nor- 

 males correspondientes á dos puntos de la curva infinitamente próxi- 

 mos. 



Segunda curvatura.— Ángulo de torsión. — La segunda curvatura es 

 el limite del cociente del ángulo de dos planos osculadores á la 

 curva, infinitamente próximos, por el arco de la curva que separa 

 los dos puntos de osculación. 



El ángulo de los dos planos osculadores, infinitamente próximos, 

 es análogo al ángulo de contingencia, y toma el nombre de ángulo 

 de torsión. Este ángulo está expresado por 



« 



dx(d"yd'^x.~d^id'^y)-\-dy(d'^xd^x—d'^xd'^x)-\-dx(d'^xd-^y—d^yd-^x) 

 (dydH—dxdhjf + (dzdh;~d:rd^xf + (<lxd-hj—dijd^xf 



y la segunda curvatura es : 



ds 



