Alabeadas, etc. — 14 — 



d X dy dz 



(A — r) -j- — — (,J —y)-\ — (Z—x)=0. 



dx dy dz 



de aquí la regla, de que para obtener la ecuación de la tangente á 

 una curva alabeada, bastará diferenciar sus ecuaciones (1) y reem- 

 plazar dx, dy y dx por X — x, Y — y y Z — x en estas ecuaciones. 

 — Si a, p y Y representan los valores de los ángulos que la tangente 

 forma con los ejes coordenados , sus valores estarán dados por las 

 expresiones : 



dx „ dy 



eos a = — -; eos p — 



\/dx^ + rfí/2 + d%^ \/dx^ + dif + dx^ 



dx 



eos y = , 



y dx^ -\- dy"^ -^ dx^ 

 La longitud del arco de una curva ds tiene por valor: 



ds=\/dx^-\-dy^-\-d-J. 



El plano normal á la curva en un punto, lo será á la tangente en 

 este mismo punto. La ecuación de este plano será de la forma 



A (X - X) + B{Y-y) + CiZ-x) = O, 



y siendo perpendicular á la tangente, cuya ecuación es (2), ten- 

 dremos : 



A _ B _ C 



dx dy dz 



y por consiguiente , la ecuación del plano normal será: 



(X — x) dx -i- (Y — y) dy + ( Z — '.) dx = O, 



la cual, teniendo en cuenta las ecuaciones (3) y eliminando las di- 

 ferenciales dx, dy y dx se puede poner bajo la forma: 



