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CIRCULO. 



— Dados dos círculos, si desde un punto de uno de ellos se traza una 

 tangente al otro y una perpendicular á su eje radical , el cuadrado 

 de la tangente está con la longitud de la perpendicular en una rela- 

 ción constante. 



— Cuando tres círculos tienen el mismo eje radical, si desde un pun- 

 to se les trazan las tangentes , las tres cuerdas de contacto concurren 

 en un mismo punto, y desde Cíida punto de una de ellas, se ven los 

 otros dos, según dos ángulos, cuyas mitades tienen sus tangentes 

 trigonométricas en una relación constante. 



Puntos límites. —Si consideramos una serie de círculos que tengan 

 el mismo eje radical, tomando esta recta por eje de las y, y la línea 

 que describe su centro por eje de las x, la ecuación de estos círcu- 

 los será : 



a;2 _|- ^2 — 2aa3 -)- a = O , 



siendo a una constante y a un parámetro variable. 

 La ecuación anterior puede ponerse bajo la forma 



así, pues, entre los círculos de la serie existirán dos que se reducen 

 á dos puntos L y L' (fig. 4."). Estos círculos particulares correspon- 

 den á los valores siguientes del pa- 

 rámetro a : 



a = ±\Ja. 



Los dos puntos L y L' han sido 

 denominados por Poncelet puntos 

 limites y están situados sobre la lí- 

 nea de los centros y simétricos con 

 relación al eje radical común. 

 — La potencia del origen O con re- 

 lación á todos los círculos, es cons- 

 tante é igual á a; se obtendrán, pues, 



los puntos límites, dirigiendo desde el punto O una tangente, O A, á 

 uno de los círculos, y tomando sobre el eje de las x, 0L= OL' = OA. 



Polo y polar. — Dado un círculo O (fig. 5.*) y un punto fijo P, si 

 por este punto se dirige una secante cualquiera, PAB, el punto M 

 conjugado armónico de P con relación á los dos puntos A y fí, des- 

 cribe una línea recta, que se llama la polar del punto P con relación 



Figura 4 " 



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