— 281 — Cúbica alabeada. 



encuentra á la cónica en tres puntos reales y cortan los conos de se- 

 gundo grado que cortan la cúbica, según hipérbolas. 



Segundo género. — La cúbica tiene una sola asíntota real y dos 

 planos osculadores paralelos entre sí que cortan á la superficie de- 

 sarrollable de que ella es arista de retroceso, según dos parábolas; 

 los demás planos osculadores producen secciones elípticas ó hiperbó- 

 licas. Los centros de estas cónicas están sobre una hipérbola cuyo 

 plano es paralelo y equidistante de los dos planos osculadores para- 

 lelos. Una rama de la hipérbola focal contiene los centros de las elip- 

 ses, otra contiene los de las hipérbolas, su plano corta á la cúbica 

 alabeada en un solo punto real y á los conos de segundo grado que 

 pasan por las curvas según elipses. 



A más de estos casos generales pueden considerarse otros dos par- 

 ticulares, que son: 1.°, la curva tiene una sola asíntota real á dis- 

 tancia finita; las otras dos son también reales, pero coinciden en el 

 infinito; y 2.°, la curva tiene todas sus asíntotas, coincidiendo en el 

 infinito, es decir, que es osculada por el plano en el infinito. 



Historia. — La representación analítica de estas curvas ha sido 

 dada por M. Cremona en una memoria inserta en los Annali di Mate- 

 mática pura éapplicata (Roma, 1858), en la cual se hace la clasifica- 

 ción y estudio de sus propiedades generales. 



Mr. Chasles ha dado la definición que de las mismas apuntamos. 



Propiedades. — Por una cúbica alabeada osculada por el plano en 

 el inñaito pasa un solo cilindro de segundo orden y este cilindro es 

 parabólico. 



— Para cada plano paralelo al cilindro , la curva admite un sistema 

 de cuerdas paralelas á este plano, cuyos puntos medios están situa- 

 dos sobre una recta (diámetro). Este diámetro pasa por el punto de 

 la cúbica alabeada en que la toca un plano paralelo á las cuerdas, y 

 es la recta intersección del plano osculador y el plano asintótico que 

 corresponde á este mismo punto. 



— Por cada punto de la curva pasa un plano asintótico ; es decir, tan- 

 gente en el infinito y todos estos planos son paralelos entre sí. 

 — Por cada punto de la curva pasa un diámetro, que biseca las cuer- 

 das paralelas al plano que toca, sin oscular, la curva en el mismo 

 punto. Todos estos diámetros son paralelos á un mismo plano, á sa- 

 ber, á la dirección de los planos asintóticos y forman una superficie 

 de tercer orden. 



— La curva admite por lo menos un punto (y á lo más tres) en que 

 la recta tangente y el diámetro correspondiente se encuentran según 

 un ángulo recto. 



