Cónicas focales. — 238 — 



bridge and Buhlin mathematicaljournal{t. III, págs. 1, 97, 148; 1842); 

 Amiot, Joiirnal de Liouville (t. VIII y X, 1843 y 1846); Briot y Bou- 

 quet, Cotnplement de la Oeometrie analytique (pág. 261); Painvin, 

 Principes de la Géométrie analyiique á trois dimensions ( Geom. de l'es- 

 pace, 2." parte, pág. 314; 1870), etc. 



Propiedades. — En ]as cuádricas con centro existe una infinidad 

 de focos situados sobre tres cónicas, que se encuentran en los planos 

 principales , y corresponden á las ecuaciones : 



z = 0, /' + J^ ^ =U (a) 



x = 0, ^_+_^ = l; ib) 



W---0, 1 = 1; (e) 



* ' C—B A — B 



siendo (x, y, xj, las coordenadas de un punto cualquiera de la 

 cuádrica dada por su ecuación general. En el caso de elipsoide 

 (a- > ¿- ">(;•-), (a) representa una elipse real; (b), una elipse ima- 

 ginaria, y (c), una hipérbola. 



— Cada una de las cónicas focales tiene por focos los de la sección 

 principal correspondiente , y por vértices los focos de las otras sec- 

 ciones principales. 



— Las cónicas focales pasan por los umbilicos; en particular, en el 

 caso del elipsoide, la focal (c) pasa por los umbilicos reales de la su- 

 perficie, de aquí el nombre de cónica focal umbilical. 



— En el hiperboloide de una hoja y en el paraboloide hiperbólico, 

 las dos cónicas focales reales son modulares, y pueden servir para 

 engendrar la superficie; pero en el elipsoide, en el paraboloide elíp- 

 tico y en el hiperboloide de dos hojas, no es modular más que una 

 de las focales, aquella que no encuentra á la superficie. 



— Las focales representan el lugar geométrico de los vértices de los 

 conos de revolución circunscritos á la cuádrica correspondiente. En 

 efecto, si un cono de revolución es circunscrito á la cuádrica, su 

 vértice puede ser considerado como una esfera, punto al cual el 

 cono es circunscrito; el cono siendo circunscrito á la par á la esfera 

 y á la cuádrica, estas dos superficies se cortan según dos curvas 

 planas. Se distinguen dos especies de focos, según que las curvas 

 sean reales ó imaginarias. 



— Cuando un cono está circunscrito á una superficie de segundo gra- 



