Cónicas polares, etc. — 248 — 



trazar dos tangentes á la curva S, los polos de estas dos tangentes 

 están en el infinito, la curva S' tiene, pues, dos ramas infinitas, es 

 una hipérbola. Si el centro de la directriz está sobre la curva S no 

 se la puede trazar desde él más que una tangente á S, la curva S' 

 no tiene en el infinito puntos, sino en una sola dirección, es una^«- 

 rábola. Por último , si el centro de la directriz está dentro de la cur- 

 va S, todas las tangentes á esta curva aS tienen sus polos á distan- 

 cias finitas; la curva S' es, pues, una elipse. 



— A los puntos de contacto de las dos tangentes trazadas por el ori- 

 gen , corresponden las tangentes en los dos puntos en el infinito á la 

 curva reciproca, esto es, las asíntotas de esta curva. La excentrici- 

 dad de la hipérbola recíproca, función del ángulo que forman sus 

 asíntotas, dependerá, por consiguiente, del que forman las tangen- 

 tes trazadas por el origen á la curva primitiva. 

 — La intersección de las asíntotas de la curva reciproca , esto es , su 

 centro , corresponde á la cuerda de contacto de las tangentes traza- 

 das por el origen á la curva primitiva. 



— Los ejes de la cónica recíproca de otra dada, son paralelos á las 

 bisectrices de los ángulos que forman las tangentes trazadas por el 

 origen á la cónica dada. 



— La recíproca de una parábola, con respecto á un punto cualquiera 

 de la directriz, es una hipérbola equilátera. 



Aplicaciones. — Como se dice en polares reciprocas (ver esta voz), 

 ciertas propiedades una vez demostradas , lo quedan sus recíprocas; 

 sirvan de ejemplo las siguientes : 



El polo de una tangente á la La polar de un punto de la có- 

 cónica es el punto de contacto de nica es la tangente en este punto, 

 esta tangente. 



Dos cónicas se cortan en gene ■ Dos cónicas tienen en general 

 ral en cuatro puntos. cuatro tangentes comunes. 



Toda recta del plano es tocada Por todo punto del plano pasan 

 por dos cónicas de un haz. dos cónicas del sistema. 



Los puntos de intersección de Las tangentes dirigidas desde 



Jas cónicas de un haz con una un punto á las cónicas de un 



recta forman sobre ella una in- sistema forman una involución, 



volución. En cada uno de dos Cada uno de dos radios dobles de 



puntos dobles de esta involución, ésta es tocada en el punto dado 



la recta es tocada por una curva por una curva del sistema, 

 del haz. 



