Compañera. — 192 — 



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la de una sinusoide. 



Por este artificio se ve que el área comprendida entre la curva y 

 su base se compone del área de la compañera limitada de la misma 

 manera y del área comprendida entre las dos curvas. Ahora, el área 

 de la companera es evidentemente mitad del área del rectángulo cir- 

 cunscrito á la cicloide, y, por otra parte, el área comprendida entre 

 la cicloide y su compañera, que por un nuevo artificio, considera 

 como compuesta de elementos paralelos á la base , es , evidentemen- 

 te, igual al área del círculo generador; siendo la ordenada común á 

 las dos curvas r. sen. w, aquélla del circulo, y la abscisa relativa de 

 la una con relación á la otra, la abscisa de este circulo generador, 

 contado á partir de su diámetro vertical. 



El área comprendida entre la cicloide y la base es, por tanto, 

 igual á la mitad del área del rectángulo , cuyos lados serán la cir- 

 cunferencia del círculo generador desarrollado, y el diámetro de 

 este circulo, aumentado del área del mismo círculo, es decir, que 

 será : 



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— Para hallar el volumen engendrado por el área de esta curva gi- 

 rando, por ejemplo, alrededor de la base, transforma de la misma 

 manera que en el caso anterior, la cuestión del volumen engendrado 

 por el área comprendida entre las dos curvas , girando alrededor de 

 la base^ y considera esta área como compuesta de elementos rectan- 

 gulares comprendidos entre dos paralelas á esta base. El círculo ge- 

 nerador intercepta, sobre estas paralelas, dos partes respectivamen- 

 te iguales á aquellas que están comprendidas entre las dos curvas, 

 los volúmenes engendrados por los segmentos del área comprendida 

 entre las dos curvas y por los segmentos del círculo generador, son 

 iguales, puesto que los segmentos son dos á dos iguales y están 

 igualmente distantes del eje de rotación. Así, el volumen engendra- 

 do^ por la rotación, alrededor de la base del área comprendida en- 

 tre la cicloide y su compañera, es igual al volumen engendrado por 

 el circulo generador, girando alrededor de esta misma base, es 



decir, 



