Cónicas confocales. — 230 — 



dirigidas desde dicho punto; es decir, que ellas son constantemente 

 armónicas á las dos tangentes dirigidas por este punto á otra curva 

 del sistema, y, por consiguiente, armónicas á las dos líneas que unen 

 el punto de que se trata á los puntos circulares, ó, en otros térmi- 

 nos, que «dos cónicas de un sistema confocal que pasan por un punto 

 se cortan octogonalmente». 



— Entre los pares de tangentes trazadas desde el punto considerado 

 á las curvas del sistema están las que pasan por los dos focos reales; 

 estas líneas son igualmente armónicas á los radios dobles de los dos 

 haces del mismo vértice en involución, y forman, por consiguiente, 

 puesto que estos radios dobles son perpendiculares entre si, ángulos 

 iguales con ellos. 



— El centro de curvatura de cualquiera de dos cónicas confocales en 

 sus puntos de intersección, es el polo, con respecto á la otra, de la 

 tangente á la primera en dicho punto de intersección. 

 — Si se tienen una elipse y una hipérbola confocal, cuyo centro común 

 sea O, y por un punto cualquiera P de la hipérbola se dirigen dos 

 rectas paralelas á las normales á la elipse en los puntos en que la 

 corta la hipérbola, y si H y K son los puntos en que estas rectas 

 cortan á la hipérbola, é /el punto medio del segmento HK; las dos 

 rectas OP y 01 están igualmente inclinadas sobre el eje mayor y la 

 relación de OP á 07 es constante. 



— Si desde un punto cualquiera de una elipse se trazan dos tangen- 

 tes á otra elipse confocal , el exceso de la suma de estas tangentes 

 sobre la longitud del arco interceptado es constante. 

 — Si desde un punto cualquiera T de una hipérbola, se trazan dos 

 tangentes, PTy KT, á una elipse confocal, la diferencia de los ar- 

 cos PA y KA , contados en la elipse desde los puntos de tangencia 

 al de intersección de las dos curvas, es igual á la diferencia de las 

 tangentes P Ty K T. 



— Dadas una elipse y un círculo variable, que tengan dos puntos 

 fijos (reales ó imaginarios) en común con la elipse, el lugar del cen- 

 tro de homología es una hipérbola confocal. Si la cónica dada es una 

 hipérbola, el lugar geométrico será una elipse confocal; y si la có- 

 nica dada es una parábola , el lugar buscado será otra parábola igual 

 del mismo foco y dirigida en sentido opuesto. 



— Si desde un punto P se trazan tangentes á dos elipses fijas confo- 

 cales, la relación de los senos de los ángulos «I/ y 4' que estas tan- 

 gentes forman con la trazada á la elipse confocal á las anteriores y 

 que pasa por P será constante , cualquiera que sea la posición del 

 punto P en la tercera elipse. 



