— 305 — Curvas, etc. 



cuarto orden que pueden presentarse y estudiado las formas que di- 

 chas curvas afectan. 



— Aplicando la teoría de las tangentes dobles estudiada por Hesse 

 (Journal de Crelle, t. XLIX, LV y LIX) y Steiner (ídem, t. LIX) 

 cuya exposición algebraica se debe á Clebsch , Ueber die Anwendung 

 der Abel'schen Futidionem, etc. (Jourtialde Crelle, t. LXIII), y su de- 

 mostración geométrica á Geiser (ídem, t. LXXIII), se demuestra que 

 una curva de ctiarto grado posee (teniendo en cuenta la fórmula de Plüc- 

 ker) 28 tangentes dobles. Para la conexión de esta teoría con las de 

 las '27 rectas sobre una superficie de. tercer orden, ver Geiser (Math. 

 An7ialen, t. I), y Zeuthen (ídem, t. VIII). 



— Partiendo de la teoría de las integrales abelianas, estudiando la 

 realidad de sus períodos y la fijación de sus integrales normales, 

 Klein ha llegado á determinar las características que se necesitan 

 atribuir á una tangente doble dada, supuesta la curva dada por una 

 figura; y á indicar los sistemas de cónicas reales que tocan á una 

 curva de cuarto orden en cuatro puntos (Math. Annalen, t. X, pági- 

 na 366 y t. XI, pág. '293) sistemas, que son en número 2*^ — 1 = 63. 



— En cada uno de los treinta y seis sistemas de cónicas de contacto 

 figuran seis pares de tangentes dobles y los puntos de contacto de 

 dos pares que pertenecen al mismo sistema están situados sobre una 

 cónica. Así, pues, el número de cónicas así obtenido, es igual al de 

 los 63 sistemas multiplicado por el número 15 de las combinaciones 

 de seis pares dos á dos y dividido por tres, puesto que cada grupo 

 de cuatro tangentes , cuyos puntos de contacto están situados sobre 

 una cónica puede descomponerse de tres maneras en dos pares , de 

 modo que cada cónica se presenta tres veces. Se encuentra, por 

 consiguiente, que el número de estas cónicas es de 315. 



— Además existen sesenta y cuatro sistemas de curvas de tercer 

 orden que cada una toca á la de cuarto orden en seis puntos, y se 

 encuentra también, perteneciendo á estos sistemas, 4.096 curvas de 

 tercer orden, que tienen con la de cuarto en tres puntos un contac- 

 to de tercer orden, estando los seis puntos de contacto reunidos por 

 pares. — (Ver Clebsch, Integrales Abeliennes et connexes, pág. 248) y 

 para el estudio de la ecuación de grado 4" = 4.096, de la cual depen- 

 de la determinación de estas curvas, C. Jordán, Traite des Substitu- 

 <¿o«s (página 305). 



— Se encuentran siete sistemas, compuesto cada uno de un número 

 simplemente infinito de cónicas que tocan á una curva de cuarto 

 orden en cuatro puntos. 



— Si en una curva de cuarto orden existe un punto de retroceso, 



