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Curvas de tercera clase. 



de la rama tricuspidal, por ocurrir que se tendrían dos puntos desde 

 los cuales se podrían trazar cinco tangentes á la curva. Entre las 

 dos especies de curvas se coloca, como elemento de transición, la 

 curva de tangente doble (2 fig. 2). El dibujo indica claramente cómo 

 se forma de esta curva la bipartita de la figura 1 ; por otra parte, la 

 curva de la figura 3 deriva de la curva 3 de la figura 2 por defor- 

 mación conveniente y proyección. 



Propiedades. — Una curva de la tercera clase, es, en general, de 

 sexto orden y tiene nueve tangentes de retroceso. 

 — Como al sistema de los nueve puntos de inflexión de las curvas 

 de tercer orden corresponden, como hemos dicho, nueve rectas ar- 

 mónicas en las de tercera clase, y á los cuatro sistemas de triángulos 

 inflexionables en las primeras, cuatro sistemas de tres puntos que 

 son los vértices de dichos triángulos en la segunda, se tendrán las 

 siguientes entre otras propiedades correlativas : 



Las nueve tangentes de infle- 

 xión de una curva cualquiera de 

 un haz de puntos de inflexión co- 

 munes, determinan una curva 

 de tercera clase, y todas estas 

 curvas de tercera clase tienen las 

 mismas tangentes de retroceso. 



Los nueve puntos de retroceso 

 de una curva cualquiera del sis- 

 tema de tangentes de retroceso 

 comunes, determinan una curva 

 de tercer orden, y todas estas 

 curvas de tercer orden tienen los 

 mismos puntos de inflexión. 



La curva de tercera clase de- 

 terminada por las nueve tangen- 

 tes de inflexión de una curva de 

 tercer orden, es la envolvente 

 de los pares de lineas en las cua- 

 les pueden descomponerse las po- 

 lares de ciertos puntos relativa- 

 mente á la primera curva, y al 

 mismo tiempo la envolvente de 

 las lineas que unen estos puntos 

 á los puntos dobles de los pares 

 de rectas correspondientes. 



La curva de tercer orden de- 

 terminada por los nueve puntos 

 de retroceso de una curva de la 

 tercera clase, es el lugar de los 

 pares de puntos en los cuales 

 pueden descomponerse las pola- 

 res de ciertas rectas relativa- 

 mente á la primera curva, y al 

 mismo tiempo el lugar de los 

 puntos de intersección de estas 

 rectas con las tangentes dobles 

 de los pares de puntos correspon- 

 dientes. 



Entre las curvas de puntos de 

 inflexión comunes, existen cua- 

 tro en que las tangentes de infle- 

 xión se cortan -tres á tres en 

 puntos que forman los vértices 

 de un triángulo inflexional. 



Entre las curvas de tangentes 

 de retroceso comunes , existen 

 cuatro en que los puntos de re- 

 troceso están situados tres á tres 

 sobre líneas rectas que forman 

 los lados de un triángulo infle - 

 xionaL 



