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Curvas, tcto. 



te tres rectas fijas, a, p, X, en tres puntos situados sobre una recta 

 móvil. 



Si sobre una curva de tercer orden se toman tres puntos arbitra- 

 riamente, se puede, aplicando este método de generación de Gras- 

 smann, engendrar la curva de doce maneras diferentes. 



Comparando este método con el de Schroter, se deduce que la mis- 

 ma curva obtenida por el método de Grassmann, sirviéndose de los 

 puntos a,b, c, y áe las líneas a, p, X, es la que se obtiene por el de 

 Schroter por medio de los tres pares de puntos a,a;b,b'ye,e'. 



Casos particulares. — Las curvas 

 de tercer orden que presentan par- 

 ticularidades distintas, han sido 

 objeto de diferentes estudios. Así, 

 aquellas de entre estas curvas que 

 tienen un punto doble pueden ver- 

 se en Weyr, Théorie der mehrdenti- 

 gen geometrischeyi Eleme^iiargebilde 

 (Leipzig, 1869); Cremona, Einlei- 

 tung iri die Théorie der ebenen Curven; 

 Hermite , Journal de Crclle (tomo 

 LXXXIV), y Lindemann (Id.). 

 También se puede consultar Syl- 



vester, Philosophical Magaxine (4." serie, t. III, 1852), para el valor 

 del discriminante de una curva de m*»'"» orden y punto doble. 



— Las que contienen un punto de retroceso se pueden ver en las 

 obras de Salmón y Cretona, que hemos antes citado. 



— Las de dos puntos dobles han sido tratadas por Gordan, üeber Cur- 

 ven drilter Ordnung mil xwei Doppelpuuklen {Math. Annalen, t. III), y 

 Gundelfinger (Id., t. IV). 



— Para Ja descomposición en tres rectas se puede consultar Sylves- 

 ter, Cambridge and Dublin Mathematical journal , t. VII, 1852; teoría 

 extendida por Hesse á las curvas de un orden cualquiera: Journal de 

 Crelle (t. LVI). 



Manifestaremos, para terminar, que para el estudio de ciertos 

 problemas referentes á las curvas de que nos ocupamos, es necesa- 

 rio recurrir á la teoría de las formas cúbicas ternarias, cuyas doc- 

 trinas comenzaron á desarrollarse en los trabajos de Hesse sobre los 

 puntos de inflexión, siguiendo los de Aronhold, Journal de Cre- 

 lle {t. XXXIX, 1849); de Cayley, Memoir upan quantics (1856); 

 Clebsch y Jordán, Math. Armaten (t. I y VI); Gordan (Id., t. I); 

 Gundelfinger (Id., t. IV y V); Cayley, Philos. Transactions , 1861, 



Figura 2 . 



