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Ejemplo. — Dos curvas de esta clase son la catenaria y la sinusoi- 

 de : En efecto , si en la ecuación de la catenaria 



X X 



a a 



e -\~ e 



se da á X un valor de la forma x y— 1, y será real y su valor será 

 el de la ordenada de la sinusoide 



a a 



e 4- e X 



V = a = a . eos — . 



Contacto. 



Definición. — Se da este nombre á la curva lugar geométrico de 

 los puntos de tangencia de todos los planos tangentes dirigidos á 



Figura 1." 



una superficie por un punto exterior ó paralelos á una dirección de- 

 terminada, ó lo que es lo mismo, á la línea según la cual toca á 

 una superficie un cono ó cilindro que le sea circunscrito. 



Propiedades. — Si consideramos un punto V (fig. 1) exterior á una 

 superficie S, y desde ese punto trazamos diferentes planos secantes, 

 que para mayor sencillez suponemos pasen por una recta que atra- 

 viese dicha superficie, estos planos determinarán en ella diferentes 

 secciones VMD, Fil/'T) . . . . y desde F se podrán trazar generalmente 

 dos tangentes á cada una de estas curvas, las cuales formarán un 

 cono, cuyo vértice será el punto dado y cuya directriz puede consi- 



