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Contacto. 



derarse es la curva MM'M" formada por los puntos de contacto 



de las tangentes expresadas. Esta curva está contenida en el cono 

 y en la superficie, y el primero será circuscrito á la segunda, tocán- 

 dola, según dicha curva, que es la de contacto; y por tanto, los 

 planos tangentes al cono lo serán á la superficie en los diferentes 

 puntos de esta curva. 



— Del propio modo, si consideramos una recta cualquiera exterior ó 

 una superficie S y otra que la atraviesa paralelamente á la dada, y 

 si hacemos pasar por esta recta planos secantes, nos darán en la 



superficie diferentes secciones ABD, AB'D (fig. 2) á las cuales 



se podrán trazar en general dos tangentes paralelas á la recta dada, 

 obteniendo de esta manera un cilindro de generatrices paralelas á 

 la expresada recta y que tocará 

 á la superficie según la curva 

 BB'B". 



Esta curva está contenida en 

 el cilindro y en la superficie, y el 

 primero será circunscrito á la se- 

 gunda, tocándola según dicha 

 curva, que es la de contacto, y 

 por tanto los planos tangentes al 

 cilindro lo serán á la superficie 

 en los diferentes puntos de esta 

 curva. 



— Asi , pues , los problemas de 

 trazar un plano tangente á una 



superficie cualquiera por un punto exterior ó paralelamente á una 

 dirección determinada ;, se reducirán, en el primer caso, á trazar un 

 plano tangente al cono circunscrito á la superficie, y cuyo vértice 

 sea el punto dado, y en el segundo, á trazar un plano tangente á un 

 cilindro circunscrito de generatrices paralelas á la recta dada, se- 

 gún una cualquiera de sus generatrices. 



Empleo del análisis. — Para tratar estos problemas por el cálculo, 

 supongamos el caso de determinar la curva de contacto de una su- 

 perficie de segundo grado con un cono ó un cilindro circunscrito. 



Sea F(x, y,x) =0 la ecuación de la superficie propuesta; x\ y , x' 

 las coordenadas del vértice del cono circunscrito y £Ci, «/i, x^ las de 

 un punto cualquiera de la curva, según la cual toca á la superfi- 

 cie F(x, y,z) = 0. 



La ecuación del plano tangente á la superficie de segundo grado 

 en el punto (or^, y^, ;:^), es 



PIgupa 2." 



