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Dei'ivadas. 



Definición. — Si desde un punto fijo se bajan perpendiculares á 

 las diferentes tangentes de una curva dada , el lugar geométrico de 

 los pies de estas perpendiculares da una curva derivada. 



Historia. — Estas curvas han recibido este particular nombre por 

 Mr. Roberts, que las estudia en q\ Journal de Liouville (T. X^ pági- 

 na 177); pero son verdaderas curvas podares. (Ver esta voz). Tam- 

 bién las estudia bajo este nombre Mr. Bellacitis. 



Clasificación y propiedades . — Si >• y iv son las coordenadas polares 

 de un punto de la curva dada, y ri , w^ las del punto correspondiente 

 de la derivada, será: 



r = /"i -. 



dr dr^ 



— Si se hace derivar de una curva dada cualquiera una serie de 

 curvas , todas se sucederán según la misma ley , y la fórmula para 

 rectificar una cualquiera de las curvas de esta serie será; siendo r 

 y w coordenadas de un punto cualquiera de la curva dada 6 primiti- 

 va; r„ y Wn las de la curva que ocupa el rango enumerado en la se- 

 rie de las derivadas, y por s„ el arco, 



nr m 4 1) \- r-' 



dr^ dr dr^ / d w \" - ' , , 



<^^n = : . „ , „+. [''—-] ^dr (a) 



V dr^ ) 



n+l 



e^y 



Las curvas así construidas se nombran positivas. 

 — Considerando una curva que sea constantemente tocada por las 

 perpendiculares dirigidas á los extremos de los radios vectores de 

 otra curva dada, y suponiendo que de esta nueva curva se hace de- 

 rivar una tercera por un método semejante de generación y así al 

 infinito ; la longitud de una cualquiera de las curvas de esta serie se 

 obtendrá por la fórmula 



— nrn-—- -{n—l) 



ds = '^^"^ ^»"n dr, 



. ji + i 



e-^) 



^/l I ,2 ^^\ ' , ar 



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