Covariantes — 272 — 



valo — hacia uno ú otro lado, puesto que siempre se verifica que 



OOt . X = ti; ./ 



i) 



razón por la cual , detallando en tangentoide cuanto á aquella curva 

 hace referencia, no necesitamos aquí detenernos con respecto á ésta. 



Covariantes. 



Definición. — Dado un sistema de puntos, existen en general otros 

 sistemas que tienen con el primero una relación determinada, inde- 

 pendiente de los puntos fundamentales. Un grupo de puntos de esta 

 especie está representado por el desvanecimiento de una función 

 que posee la propiedad de la invariación y que contiene, no tan sólo 

 los coeficientes de la forma dada, sino también las variables x-^ x^. 

 Esta función se llama un covariante de la forma dada. Ahora bien, 

 es posible escribir bajo forma simbólica un número ilimitado de co- 

 variantes, cuya significación ó ctirva covariante que ella representa 

 se debe deducir precisamente de la teoría de las polares. 



Clases que son conocidas: Entre las curvas de esta clase , es tan sólo 

 un corto número las que hasta el día han sido estudiadas, y para 

 eso las definidas por condiciones geométricas muy sencillas, cuales 

 son las caracterizadas de una manera general por la condición de 

 que la enésima polar de un punto tenga una propiedad invariante 

 determinada, estableciendo en particular que la primera polar de un 

 punto relativamente á una curva origen posea un punto doble. 



Así se obtiene la hessiana; de ésta se deduce la steineriana, la cual 

 á su vez determina una tercera curva, la cayleiana (ver los artículos 

 correspondientes ). 



Una cuarta curva se ha estudiado también, que es la envuelta por 

 las tangentes de las primeras polares en sus puntos , curva que no 

 ha recibido particular denominación. 



Observación. — Del propio modo que imponiendo como se ha hecho 

 arriba á las primeras polares la condición de poseer ciertas particu- 

 laridades, nos ha conducido á las curvas covariantes, del mismo modo 

 se puede partir de las polares de un orden cualquiera y engendrar 

 ciertas figuras covariantes, que como las curvas arriba indicadas, 

 presentan ciertas singularidades. Las curvas que tienen este origen 

 no han sido aún objeto de estudios dignos de fijar la atención, 



