Elipsoidales. . — 386 — 



n^ x^ |- ¿^ y'^ f c^ x^ = P^ 



traza sobre la misma superficie una curva elipsoidal que está al mis- 

 mo tiempo sobre uu cono cuya ecuación es 



s — -^ = 0. 



— Por consiguiente, cada punto de la superficie de las ondas está 

 determinado por la intersección de una curva esférica y una curva 

 elipsoidal. 



— Las curvas esféricas y elipsoidales se cortan en ángulo recto. En 

 efecto; si a\, y^, % son las coordenadas de un punto M^ de la su- 

 perficie y los parámetros B y P tienen por valores E^y Pi, los dos 

 conos (1) y ('2) tendrán para planos tangentes en este punto 



^ a'x^x ^ ^ x^ _ 



7?i — «2 P^—b^c^ 



y el coseno del ángulo comprendido entre estos planos tiene por 

 factor 



S = "^'^-^ = S ~ = ^ Sa^ (b-^ - c^) = 0. 



(/¿i— a2)(Pi — //^í-^) (e2 — o2){a2 — ¿2) A 



Por tanto, los dos conos se cortan octogonalraentc. Ahora bien; la 

 tangente á la curva esférica en M^ es perpendicular al radio de la 

 esfera 



X^ + í/2 + ^2 _ /^^ 



Ó arista común de los dos conos; ella es, por consiguiente, perpen- 

 dicular al cono (2), y por lo tanto, á la tangente á la curva elip- 

 soidal. 



Aplicaciones. — Descompuesta la superficie de las ondas , según 

 acabamos de ver, por medio de las curvas elipsoidales y esféricas, 

 en elementos rectangulares, se pueden aplicar á la misma los méto- 

 dos de Mr. Charles y las propiedades de M. Liouville sobre las lí- 

 neas de naturaleza diversas trazadas sobre superficie cualquiera. 



