Epicicloidales. — 396 — 



que nos da la tangente trigonométrica de la inclinación de la tangen- 

 te á la epicicloide para cada valor de la variable «, vemos que es 

 independiente de la magnitud de los radios, aunque no de la razón 

 que hay entre ellos, de donde deducimos que todas las epicicloides 

 en que ^es constante, son curvas semejantes. 



— El número de tangentes paralelas á una recta dada en una epici- 



P 

 cloide completa, es ^ T 2 g, siendo -í— la fracción irreducible que 



1 



expresa la razón del radio del circulo fijo al del móvil. 



— La longitud del arco se obtendrá haciendo uso de la fórmula : 



ds ^= \dx^ -f- dy''^, 



en la que, substituyendo los valores de dx, dy dados por las expre 

 siones (3), será: 



ds = 2r {K -|- 1) sen — da, 



¿i 



é integrando , 



5 == — 4r (TiT 4- 1) eos — + t'; 



el valor de la constante se determinará, suponiendo que el arco que 

 se quiere medir tiene su origen en el punto K, para el cual a = O y 

 s = O , y tendremos : 



C = 4r(A'+l); 



y substituyendo : 



s = 4r(i!:+ 1) ('l — cos-^\ = 8ri/í+ l)sen-^— , 



y si queremos el valor de la longitud total de la epicicloide , se hará 

 a = 2 Tc, y tendremos : 



— El área estará dada por la expresión, área = (2 Á' + 3) tt r. ^^ si 



en ella hacemos K = = — = O, que es el caso de la cicloide , re- 



sulta para esta curva, como se sabe (V. cicloide), 



área = S-z'-^. 



