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— La proyección horizontal de la curva de los centros de curvatura 

 de la espiral cónica es una espiral logarítmica, y desarrollando el 

 cono recto sobre un plano tangente, ella se desarrolla también se- 

 gún una espiral logarítmica. 



— La tangente á la espiral cónica traza sobre un plano perpendicu- 

 lar al eje otra especial logarítmica, y el lugar de los centros de cur- 

 vatura de dicha curva es otra espiral cónica. 



Espiral cónica de Arquimedes. — Si se considera una espiral de Ar- 

 quimedes situada sobre un plano, P, y que este plano se arrolla so- 

 bre un cono de revolución , B, de tal modo que el polo de la espiral 

 venga á coincidir con el vértice del cono, se obtendrá una línea de 

 doble curvatura, que es la espiral cónica de Arquimedes. 



Espiral de Platón. — JJn pasaje de Timeo (pág. 36; ver M. Th. H. 

 Martin, t. VIII de las Mémoires des Savants étrangers, pág. 336) nos 

 muestra la idea de la espiral de Platón, aplicada precisamente á las 

 órbitas de los planetas. 



Respecto á esta línea no se sabe más sino que los matemáticos 

 de su tiempo estudiaron las propiedades de esta curva, habiendo 

 atribuido á Conon, amigo de Arquimedes, la invención de la es- 

 piral. 



Espiral esférica. — Definición. — Curva trazada por un punto que, 

 partiendo del polo de una esfera, va recorriendo su superficie, ale- 

 jándose cada vez más del punto de partida, del propio modo que la 

 espiral de Arquimedes está engendrada sobre un plano ; es decir, que 

 un cuarto de un círculo máximo se supone gira uniformemente alre- 

 dedor de su radio, mientras que un punto le recorre uniformemente 

 y describe esta línea sobre la superficie de la esfera. 



Historia. — Esta curva se conoce también con el nombre de espiral 

 de Pappiis, al cual se atribuye la primera idea de ella. Este mate- 

 mático, en sus Comentarios á los elementos de Euclides, se ocupa de 

 su generación y manifiesta la siguiente propiedad: «Si un punto mó- 

 vil parte del polo de un hemisferio recorriendo con un movimiento 

 uniforme un cuadrante perpendicular á la base, mientras que este 

 cuadrante hace con movimiento uniforme una revolución entera al- 

 rededor del eje, el espacio comprendido entre la circunferencia de 

 base y la espiral descrita, será igual al cuadrado del diámetro de la 

 esfera». Esta propiedad es notable, por ser el primer ejemplo que se 

 tiene de una superficie curva exactamente cuadrable. 



Espiral hiperbólica cónica. — Si sobre un plano trazamos una es- 

 piral hiperbólica y arrollamos este plano sobre un cono de revolu- 

 ción de tal manera que el punto asintótico de la curva coincida con 



