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el vértice del cono , se obtendrá una curva de doble curvatura sobre 

 la superficie del cono, que es la espiral hiperbólica cónica. 



Otj-as espirales. — Lo son la hélice, la loxodromia , la pollodia y la 

 herpollodia. (Ver estas voces.) 



Aplicaciones de estas curvas. — Además del interés evidentemente 

 científico que el estudio de estas curvas presenta para el matemáti- 

 co, ellas son de una grande aplicación en las artes y se emplean 

 tanto como medio decorativo, como también para el trazado de cier- 

 tas especies de arcos. 



Espiricas. 



Definición. — Curvas formadas por la intersección de un plano, con 

 el cuerpo engendrado por la revolución de un circulo alrededor de una 

 de sus cuerdas, de una de sus tangentes ó de una recta exterior á él. 

 Este cuerpo se conoce con el nombre de superficie anular ó toro. 



Historia. — Perseo, discípulo de Zénon, que vivió en el siglo iii an- 

 tes de J. C, y Géminus, contemporáneo de Hiparco, han tratado de 

 las secciones del toro en obras que se han perdido , pero que han 

 sido citadas por Proclus en sus Comentarios sobre EucUdes (460). Per- 

 seo dio el nombre de espire al toro, y á sus secciones planas el de es- 

 píricas. Heron de Alejandría comprende estas palabras en su No- 

 menclatura vocaholarum geometricot um (traducida y publicada por 

 Dasypodius en 1579). 



Ecuación. — Si se toma por eje de las x, el de la superficie toro; por 

 el de las x la perpendicular bajada desde el centro del circulo móvil 

 sobre el eje de las x, y por el de las y una perpendicular al plano de 

 las xz, y llamando R al radio de dicho circulo y d la distancia de su 

 centro al eje , la ecuación del toro será : 



4f¿2 (a;2 + í/2) = (x2 + 2/2 _|_ ^2 ^ ¿2 _ 7^2)2 



Si se corta esta superficie por un plano 



x = m (x — p) 



y se refiere la sección á las trazas de este plano sobre los de las xz 

 y de las xy tomadas por eje de las xy de las y, las fórmulas de trans- 

 formación serán : 



1 , , 7n , 



V14-ÍW2 V1+7W2 



