Espirales. — 430 — 



se deja determinada sobre cada radio ; se puede sustituir al cuarto 

 de círculo un cuarto de elipse, lo cual alargará ó acortará la espiral, 

 según que el pequeño ó el mayor de»los ejes de la elipse sea para- 

 lelo á la linea de las abscisas. 



Espiral hiperbólica. — Definición. — Se llama asi la curva en la que 

 las longitudes de los radios vectores están en razón inversa de sus 

 inclinaciones. 



Historia. — De las obras antiguas que más especialmente se han 

 ocupado de esta curva con preferencia á las demás espirales, pode- 

 mos citar la De lineis logarithmicis spiralihus hiperbolices , de P. Nico- 

 lás (1696). 



Ecuación. — Si representamos por p el radio vector, w su inclina- 

 ción y a la longitud absoluta del radio vector cuya inclinación es 

 uno, la ecuación polar de esta curva estará expresada, teniendo en 

 cuenta su definición , por 



a 



IV 



Propiedades. — El origen es un punto asintótico de esta curva, por- 

 que p no puede reducirse á cero, sino para »' = qo . 



— Es simétrica con respecto a) eje imaginario, porque dando á a- los 

 valores iv y — »• equivalentes y de signo contrario, se encontrará 

 que los valores de los dos radios vectores correspondientes tienen la 

 misma ordenada y las abscisas opuestas y equivalentes. 



— Si hacemos 



«1 = 2-, w^ítZj m) = 671, etc., 



tendremos para p los valores 



a a a 



, > etc., 



27t 471 6n 



lo cual demuestra que al cabo de dos vueltas se reduce el radio vec- 

 tor á la mitad de lo que era al fin de la primera, á la tercera parte 

 al de tres vueltas, y así sucesivamente. 



— Las dos ramas que forman simetría corresponden , una á valores 

 positivos y otra á valores negativos de ic , y no están unidos por un 

 elemento como en la espiral de Arquimcdes. En efecto , no puede ve- 

 rificarse la unión si no pasa w de positivo á negativo , cuyo tránsito 

 tiene que ser al llegar w á cero ó á infinito. Este último valor es 



